2016年12月26日、聖ステファノの祝日

 

超越定数の乗算、除算、累乗、対数の一般的な公式を導き出しました。

加算と減算を導くのはより困難であり、部分的にしか行われませんでした。

超越定数には独自の計算方法があり、私が「 インデックス数学。

 

これは、指定された定数のインデックス (下付き文字) を使用して、乗算、除算、累乗、対数、場合によっては積分と微分の新しい値を計算することを意味します。

理解しやすいように簡単な例から始めて、一般的な公式を導き出します。

 

1. たとえば、 2 つの定数の乗算は次のように記述できます。

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (式1)

 

具体的な例を挙げると、

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

そして

C _n = C ₇ = e = 2.718 281 828...

それから

C ₈ × C ₇ = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

今、

( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² = ( C _{( 8 + 7⁄2 )} ) ² = ( C _{( 15⁄2 )} ) ² = ( C _7.5 ) ²

 

「Book 1 - Transcendental Constants - Introduction」の式 11 を使用します。

次のように、実数インデックスを使用して定数の任意の値を計算できます。

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (式2)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

それを二乗すると

(2.922 282 364...) ² = 8.539 734 216...

 

相対誤差は

ε = -0.000 000 001

つまり、エラーは最小限（ある場合）です - 計算は携帯用電卓で行われます。

 

2. 2つの定数の乗算の式に累乗を加える（式1）

 

与える：

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (式3)

 

前の例にいくつかの機能を追加して使用してみましょう。

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ³ = ( C _{( (0.25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

左辺は

= 26.740 585 61...

 

そして右辺（再び式2を使用）は

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

相対誤差

ε = 0.000 000 001

 

3. 任意の累乗および因数の数に対する乗算の一般的な公式。

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (式4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (式4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} (式 4b)

 

(式4a)ではp + q + r +...+ z ≠ 0なので、 (式4b)の方がはるかに堅牢です。

 

1 つのインデックスが「0」である 3 つの因数と 3 つの累乗の最後の式の例。(例外: 機能するには、2X0 が 2 に等しくなければなりません)。

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0.986976350...) ² = 0.064 568 027...

 

一般式の2番目の部分は

( C _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( C _25.3333 ) ^{− 0.75} =

C _25.3333を計算すると、

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

一般式の3番目の部分は

( C _{( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1 )} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

つまり、3 つの結果はすべて同じになります。

 

4. 積とべき乗の対数の一般的な公式。

 

それほど難しいことではありません。しかし、式4の対数を取ると、次のようになります。

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (式5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (式5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + … + z × x ⁄ p + q + r + … + z )} ) = (式5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )(式5c)

 

また、（式5b）p + q + r +...+ z ≠ 0

 

指数が「0」である定数の指数と指数の乗算。（例外：これを機能させるには（「指数」または「指数」）、X 0 は指数または指数が 0 でない必要があります）。

 

5. 2 つの定数の除算。

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (式6)

 

例: C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

ここで、（式6）

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{(− 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

定数の値はブログのセクション「超越定数の表...」から取得されます。

 

同じ結果です。

 

6. 2 つの定数の累乗による除算。

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (式7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (式7a)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} (式7b)

 

たとえば、(式 7) から: ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

(式7a)より: ( C _{(( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − ( − 0.5 ))} =

= ( C _{( − 20 − 3.5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7.8333 ) ³

 

（式2）を使用してこの結果を計算すると：

 

超越関数の一般式より：

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

そして式7aから：

 

( C _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

(式7b)より:

 

( C _{( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2.5 + 0.5 ))} =

= ( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

（式2）を使用してこの結果を計算すると：

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032 900 694...

 

今：

 

( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

つまり、同じ結果になります。

 

7. 任意の数の因数と任意の累乗による除算の一般的な公式。

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ ( ( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (式8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (式8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} (式8b)

 

(式 8a) には、前述と同様に、べき乗または指数が「0」になるという制限があります。

（ − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. 対数。

 

両辺に対数を取ると、(式 5a、5b、5c) と同様の式が得られます。

ここで書くのは面倒すぎる。

 

コメント:

 

これらのすべての Index Math 式では、定数C ₀ = 0.986 976 350... が最も重要であるように見えます。これは、他のすべての定数がこの特定の定数C ₀とC ₈ = π およびC ₇ = e で計算できるかのように思われます。

 

これらの記事に関連するリンクはこちらです

 

1. π 」と「e」から導かれる普遍超越関数と普遍超越定数>>> https://luxdeluce.com/400-187-4a-1-be.html

 

 

2. 超越定数表の推移 >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. 超越定数表が更新されました >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

4. 指数数学 – 超越定数の性質 >>> https://luxdeluce.com/475-262-9-2-b.html