263. 9. 책 2-b - 초월 함수의 일부 속성

2016년 12월 26일, 성 스테파노 축일

 

저는 초월상수에 대한 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 로그에 대한 일반 공식을 도출했습니다.

덧셈과 뺄셈은 유도하기가 더 어렵습니다. 부분적으로만 이루어졌습니다.

초월 상수는 고유한 계산 방식을 가지고 있습니다. 즉, 내가 말하는 것을 사용합니다. 지수 수학 .

 

이는 주어진 상수의 인덱스(첨자)를 사용하여 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 대수, 그리고 적분과 미분의 새로운 값을 계산한다는 것을 의미합니다.

먼저 간단한 예를 들어서 이해하기 쉽게 하고, 그런 다음 일반적인 공식을 도출해 보겠습니다.

 

  1. 예를 들어, 두 상수의 곱은 다음과 같이 설명할 수 있습니다 .

 

C m × C n = ( C ( m + n )⁄ 2 ) 2 (방정식 1)

 

그럼 구체적인 예를 들어보자면,

Cm = C8 = π = 3.141592654 ...

그리고

C n = C 7 = e = 2.718 281 828...

그 다음에

C 8 × C 7 = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

지금,

( C ( m + n )⁄ 2 ) 2 = ( C ( 8 + 7⁄2) ) 2 = ( C ( 15⁄2) ) 2 = ( C 7.5 ) 2

 

"1권 - 초월상수 - 소개"의 공식 Eqn. 11을 사용합니다.

우리는 다음과 같이 실수 인덱스를 갖는 상수 값을 계산할 수 있습니다.

 

FT(x) = ( C 0 ) × (π/ e) x (방정식 2)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) 7.5 = 2.922 282 364...

우리가 얻는 제곱

(2.922 282 364...) 2 = 8.539 734 216...

 

상대 오차는

ε = -0.000 000 001

즉, 오류가 최소화되어야 합니다(오류가 전혀 없어야 합니다). 계산은 휴대용 계산기를 사용하여 수행됩니다.

 

  1. 두 상수의 곱셈 공식에 거듭제곱 추가 (방정식 1)

 

제공합니다:

 

( C m ) p × ( C n ) q = [ C ( p × m + q × n) ⁄ p + q ) ] ( p + q ) (방정식 3)

 

이전 예제에 몇 가지 추가 기능을 추가해 보겠습니다.

( C 8 ) 1⁄ 4 × ( C 7 ) 3 = ( C ( (0.25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0.25 + 3) ) 0.25 + 3

왼쪽은 다음과 같습니다

= 26.740 585 61...

 

그리고 오른쪽 측면(다시, 방정식 2 사용)은 다음과 같습니다.

= ( C 23⁄3.25 ) 3.25 = (2.748 713 730) 3.25 = 26.740 585 57...

 

상대 오차

ε = 0.000 000 001

 

  1. 모든 거듭제곱과 인수의 개수에 대한 곱셈의 일반 공식입니다 .

 

( C m ) p × ( C n ) q × ( C o ) r × ... × ( C x ) z = (식 4)

 

= [ C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z ) ] ( p + q + r + ... + z ) = (방정식 4a)

= ( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ) ) × ( C 0 ) ( p + q + r + ... + z − 1) ( 식 4b)

 

(Eqn. 4a)에서 p + q + r +...+ z ≠ 0 이므로 (Eqn. 4b)가 훨씬 더 견고합니다.

 

3개의 인수와 3개의 거듭제곱에 대한 마지막 공식의 예이며, 하나의 지수는 "0"입니다. (예외: 이 공식을 적용하려면 2X0이 2와 같아야 합니다.)

 

( C 8 ) 1⁄ 4 × ( C 7 ) − 3 × ( C 0 = 0.986976350...) 2 = 0.064 568 027...

 

일반 공식의 두 번째 부분은 다음과 같습니다.

( C ( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 ) ) ( 0.25 − 3 + 2) = ( C 25.3333 ) − 0.75 =

C 25.3333을 계산하면 다음과 같습니다.

= (38.604 978 32...) − 0.75 = 0.064 568 027...

 

일반 공식의 세 번째 부분은 다음과 같습니다.

( C ( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 ) ) × ( C 0 ) ( 0.25 − 3 + 2 − 1) =

= ( C − 19 ) × ( C 0 ) − 1.75 =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

따라서 세 가지 결과는 모두 같습니다.

 

  1. 곱과 거듭제곱의 로그에 대한 일반 공식입니다 .

 

그다지 중요한 내용은 아닙니다. 하지만 방정식 4에 로그를 취하면 다음과 같습니다.

 

ln[( C m ) p × ( C n ) q × ( C o ) r × … × ( C x ) z ] = (방정식 5)

 

= p × ln( C m )+ q × ln( C n )+ r × ln( C o )+… + z × ln( C x ) = (방정식 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z ) ) = (방정식 5b)

 

= ln( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ) ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C 0 )( 식 5c)

 

다시, (Eqn. 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

지수가 "0"인 상수의 거듭제곱과 지수의 곱 (예외: 작동하려면("제곱" 또는 "지수") X 0은 거듭제곱과 같아야 하거나 지수가 0과 같지 않아야 함).

 

  1. 두 상수의 나눗셈 .

 

C M ⁄ C n = ( C (- M+n ) ) − 1 ⁄( C 0 ) − 1 (방정식 6)

 

예를 들어, C 8 ⁄ C 7 = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

이제 (Eqn. 6)을 사용하여

 

C 8 ⁄ C 7 = π ⁄ e = ( C ( − 8 + 7) ) − 1 ⁄( C 0 ) − 1 =

= ( C − 1 ) − 1 ⁄( C 0 ) − 1 = (0.853 987 189...) − 1 ÷ (0.986 976 350...) − 1 =

= 1.155 727 350...

 

상수 값은 블로그 섹션 "초월상수 표..."에서 가져왔습니다.

 

결과는 동일해요.

 

  1. 거듭제곱을 이용한 두 상수의 나눗셈 .

 

( C M ) P ⁄( C n ) q = (식 7)

 

= ( C (( − P × M + q × n) ⁄ − P + q ) ) ( P − q ) = (방정식 7a)

= ( C ( − P × M + q × n ) ) − 1 ⁄( C 0 ) ( − 1 − ( P − q )) ( 방정식 7b)

 

예를 들어, (식 7)에서: ( C 8 ) 2.5 ⁄( C 7 ) − 0.5 = ( π ) 2.5 ⁄( e ) − 0.5 = 28.841 770 89...

(식 7a)에서: ( C (( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 ) ) ( 2.5 − ( − 0.5 )) =

= ( C ( − 20 − 3.5⁄ − 3) ) 3 = ( C 7.8333 ) 3

 

(Eqn. 2)를 사용하여 이 결과를 계산합니다.

 

초월 함수 일반 공식에서:

 

TF( 7.8333) = ( C 0 ) × ( π ⁄ e ) 7.8333 = 3.066 718 931...

 

그리고 방정식 7a에서:

 

( C 7.8333 ) 3 = (3.066 718 931...) 3 = 28.841 770 86...

 

(식 7b)에서:

 

( C ( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7) ) − 1 ⁄( C 0 ) ( − 1 − (2.5 + 0.5 )) =

= ( C − 23.5 ) − 1 ⁄( C 0 ) − 4 =

 

(Eqn. 2)를 사용하여 이 결과를 계산합니다.

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) − 23.5 = 0.032 900 694...

 

지금:

 

( C − 23.5 ) − 1 ⁄( C 0 ) − 4 = (0.032 900 694...) − 1 ÷ (0.986976350...) − 4 =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

즉, 같은 결과입니다.

 

  1. 임의의 개수의 인수와 임의의 거듭제곱을 갖는 나눗셈에 대한 일반 공식입니다 .

 

( ( 씨엠 ) 피 × ( C N ) Q × ( C O ) R × ...  × ( C X ) Z ) ÷ (( C m ) p × ( C n ) q × ( C o ) r × ... × ( C x ) z ) = (방정식 8)

 

= ( C (( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) ) ) [ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )] = (식 8a) =

( C (( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )) ) − 1 ⁄( C 0 ) [ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )] ( 방정식 8b)

 

(식 8a)는 이전과 마찬가지로 지수 또는 지수가 "0"과 같다는 제한이 있습니다.

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

  1. 대수 .

 

우리는 (5a, 5b, 5c) 방정식과 비슷한 방정식을 얻습니다. 양쪽에 로그를 취합니다.

여기에 쓰는 건 너무 지루해요.

 

댓글 :

 

이 모든 지수 수학 공식에서 상수 C 0 = 0.986 976 350...이 가장 중요한 것으로 보입니다. 마치 다른 모든 상수가 이 특정 상수 C 0 에 C 8 = π와 C 7 = e를 더한 값 으로 계산될 수 있는 것처럼 말입니다 .

 

이 기사와 관련된 링크는 다음과 같습니다.

 

  1. π "와 "e" 에서 유도된 보편 초월 함수와 보편 초월 상수 >>> https://luxdeluce.com/399-186-4a-1-be.html

 

 

  1. 아래로 내려가는 초월상수 표 >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

  1. 초월상수 표 업데이트가 상향 조정되었습니다 >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

  1. 지수 수학 - 초월 상수의 속성 >>> https://luxdeluce.com/476-263-9-2-b.html

 

 

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