公元 2016 年 12 月 26 日，圣史蒂芬节

 

我推导出超越常数的乘法、除法、幂和对数的一般公式。

加法和减法推导起来更具挑战性；它只完成了一部分。

超越常数有其独特的计算方法，即使用我所说的， 索引数学。

 

这意味着给定常数的索引（下标）用于计算乘法、除法、幂和对数的新值，可能还有积分和导数。

我将从简单的例子开始，以便更容易理解，然后推导出一般公式。

 

1. 例如，两个常数的乘法可以描述如下：

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ^（公式 1）

举个具体的例子，假设

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

和

C _n = C ₇ = e = 2.718 281 828...

然后

C ₈ × C ₇ = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

现在，

（ C _{（ m + n ）⁄ 2} ） ² = （ C _{（ 8 + 7⁄2）} ） ² = （ C _{（ 15⁄2）} ） ² = （ C _7.5 ） ²

 

使用“第一册 - 超越常数 - 导论”中的公式 Eqn. 11。

我们可以用实数指数计算任意常数值，如下所示：

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x （公式 2）

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

平方后我们得到

（2.922 282 364...） ² = 8.539 734 216...

 

相对误差为

ε = -0.000 000 001

即，最小的错误（如果有的话）——计算是在手持计算器上进行的。

 

2. 将幂添加到两个常数相乘的公式中（公式 1）

 

给出：

 

（ C _m ） ^p × （ C _n ） ^q = [ C _{（ p × m + q × n） ⁄p + q ）} ] ^{（ p + q} _） （等式 3 ^）

 

让我们使用前面的例子并添加一些功能：

（ C ₈ ） ^1⁄4 × （ C ₇ ） ³ =（ C _{（ （0.25} ^× _{8+3× 7）⁄0.25 +3）} ） ^0.25+3

左侧等于

= 26.740 585 61...

 

右边（再次使用公式 2）是

=（ C _23⁄3.25 ） ^3.25 =（2.748 713 730） ^3.25 = 26.740 585 57...

 

相对误差

ε = 0.000 000 001

 

3. 任意幂和因数的乘法的通用公式。

 

（ C _m ） ^p ×（ C _n ） ^q ×（ C _o ） ^r ×...×（ C _x ） ^z = （等式 4）

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = （方程式 4a）

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} (方程 4b)

 

在 (Eqn. 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0 中；因此(Eqn. 4b) 更加稳健。

 

最后一个公式的示例为三个因数和三个幂，其中一个指标等于“0”；（例外：要使其起作用，2X0 必须等于 2）。

 

（ C ₈ ） ^{1⁄4 ×} （ C ₇ ） ⁻³ ×（ C _{0 = 0.986976350} ... ） ² = 0.064 568 027 ...

 

通式的第二部分给出

（ C _{（ （0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0）⁄ （0.25 − 3 + 2 ）} ） ^{（ 0.25 − 3 + 2）} = （ C _25.3333 ） ^{− 0.75} =

使用公式 2 计算C _25.3333，我们得到

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

通式的第三部分给出

（ C _{（ 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 ）} ）× （ C ₀ ） ^{（ 0.25 − 3 + 2 − 1）} =

=（ C _{− 19} ）×（ C ₀ ） ^−1.75 =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

因此，这三个结果都是一样的。

 

4. 乘积与幂的对数的通式。

 

这没什么特别的。但是，对公式 4 取对数，我们得到：

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = （公式 5）

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = （公式 5a）

 

= ( p + q + r + ... + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (公式 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )(公式 5c)

 

同样，在（方程 5b）中，p + q + r +...+ z ≠ 0

 

常数的幂与指数相乘，指数等于“0”；（例外：要使其起作用（“幂”或“指数”）X 0 必须等于幂或指数不等于 0）。

 

5. 两个常数的除法。

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} （等式 6）

 

例如， C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

现在，使用（公式 6）

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

常数的值来自博客部分“超越常数表...”

 

结果相同。

 

6. 两个常数的幂除法。

 

（ C _M ） ^P ⁄（ C _n ） ^q = （等式 7）

 

=（ C _{（（− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (公式 7a)

=（ C _{（− P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} (方程 7b)

 

例如，根据（方程 7）： ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

来自（方程式 7a）：（ C _{(( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − ( − 0.5 ))} =

=（ C _{（ −20−3.5⁄−3）} ） ³ ₌ （ C7.8333 ） ³

 

使用（公式 2）计算此结果：

 

由超越函数通式可知：

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

从公式 7a 可知：

 

（ C _7.8333 ） ³ = （3.066 718 931...） ³ = 28.841 770 86...

 

来自（方程 7b）：

 

（ C _{（ −2.5×8−0.5×7）} ） ⁻ 1⁄（ C0 _） ^（ − ^{1−（2.5+0.5 ））} =

= （ C _-23.5 ） ^-1⁄ （ C0 _） ^-4 =

 

使用（公式 2）计算此结果：

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032 900 694...

 

现在：

 

（ C _{− 23.5} ） ^{− 1} ⁄（ C ₀ ） ^{− 4} =（0.032 900 694 ...） ^{− 1} ÷（0.986976350 ...） ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

即相同的结果。

 

7. 任意数因数和任意幂的除法的通用公式。

 

(( C _M ) ^P × ( CN ₎ ^Q × ( CO ₎ ^R × ...  × ( CX ) Z ⁾ ÷(( _Cm ) p ^× ( Cn ₎ ^q ×( Co ) _r ^× ...×( _Cx ) z ⁾ ₌ (等式8)

 

= （ C _{（（− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (方程 8a) =

（ C _{（（− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} (方程式 8b)

 

（公式 8a）与前面一样，有一个限制，即幂或指数等于“0”。

（ − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. 对数。

 

我们得到类似于（公式 5a、5b 和 5c）的方程，对两边取对数。

在这里写太繁琐了。

 

评论：

 

在所有这些指数数学公式中，常数C ₀ = 0.986 976 350... 似乎是最重要的，就好像所有其他常数都可以用这个特定的常数C ₀加上C ₈ = π 和C ₇ = e 来计算。

 

以下是与这些文章相关的链接

 

1. π ”和“e”导出的通用超越函数和通用超越常数>>> https://luxdeluce.com/397-184-4-b-pi-e.html

 

 

2. 超越常数表向下 >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. 超越常数表更新 >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

4. 索引数学 – 超越常数的性质 >>> https://luxdeluce.com/477-264-9-2-b.html