26 Disyembre 2016 AD, Pista ni St Stephen

 

Nakakuha ako ng mga pangkalahatang formula para sa multiplication, division, powers, at logarithms para sa Transcendental Constants.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ay mas mahirap makuha; ito ay ginawa lamang bahagyang.

Ang Transcendental Constants ay may kakaibang paraan ng pagkalkula, ibig sabihin, ginagamit nila ang tinatawag kong, Index Mathematics .

 

Nangangahulugan ito na ang mga index (subscript) ng mga ibinigay na constant ay ginagamit upang kalkulahin ang mga bagong halaga ng multiplication, division, powers, at logarithms, posibleng integral at derivatives.

Magsisimula ako sa mga simpleng halimbawa upang mas madaling maunawaan at pagkatapos ay makuha ang mga pangkalahatang formula.

 

1. Halimbawa, ang pagpaparami ng dalawang constant ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Eqn. 1)

 

Kaya, sa isang konkretong halimbawa, sabihin natin

 

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

 

At

 

C _n = C ₇ = e = 2.718 281 828...

 

Pagkatapos

C ₈ × C ₇ = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

ngayon,

 

( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² = ( C _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C _7.5 ) ²

 

Gamit ang formula Eqn. 11 mula sa "Book 1 - Transcendental Constants - Introduction."

maaari nating kalkulahin ang anumang halaga ng pare-pareho na may totoong index, tulad ng sumusunod:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (Eqn. 2)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

Squaring na nakukuha natin

(2.922 282 364...) ² = 8.539 734 216...

 

Ang kamag-anak na error ay

ε = -0.000 000 001

ibig sabihin, kaunting error (kung mayroon man) - ang mga kalkulasyon ay ginawa sa isang calculator na hawak ng kamay.

 

2. Pagdaragdag ng mga kapangyarihan sa formula para sa pagpaparami ng dalawang constants (Eqn. 1)

 

nagbibigay ng:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (Eqn. 3)

 

Gamitin natin ang nakaraang halimbawa na may ilang karagdagang kapangyarihan:

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ³ = ( C _{( ( (0.25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

Ang Kaliwang Gilid ay katumbas ng

= 26.740 585 61...

 

At ang kanang bahagi (muli, gamit ang Eqn. 2) ay

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

Kamag-anak na error

ε = 0.000 000 001

 

3. Ang pangkalahatang formula para sa pagpaparami para sa anumang kapangyarihan at bilang ng mga kadahilanan .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (Eqn.4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Eqn. 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Eqn.4b)

 

Sa (Eqn. 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; kaya ang (Eqn. 4b) ay mas matatag.

 

Halimbawa ng huling formula para sa tatlong salik at tatlong kapangyarihan na may isang index na katumbas ng "0"; (exception: para magawa ito, 2X0 ay dapat katumbas ng 2).

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0.986976350...) ² = 0.064 568 027...

 

Ang ikalawang bahagi ng pangkalahatang formula ay nagbibigay

( C _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( C _25.3333 ) ^{− 0.75} =

Gamit ang Eqn.2 upang kalkulahin ang C _25.3333 nakukuha natin

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

Ang ikatlong bahagi ng pangkalahatang formula ay nagbibigay

( C _{( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

Kaya, lahat ng tatlong resulta ay pareho.

 

4. Ang pangkalahatang formula para sa logarithm ng mga produkto at kapangyarihan .

 

Walang gaanong bagay dito. Ngunit, ang pagkuha ng mga logarithms ng Equation 4, nakukuha natin:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (Eqn. 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (Eqn. 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (Eqn. 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( Eqn.5c)

 

Muli, sa (Eqn. 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Pagpaparami ng kapangyarihan at index ng pare-pareho na may index na katumbas ng "0"; (exception: para magawa ito (“power” o “index”) Ang X 0 ay dapat katumbas ng power o index na hindi katumbas ng 0).

 

5. Dibisyon ng dalawang constants .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Eqn. 6)

 

hal, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

Ngayon, gamit ang (Eqn. 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

Ang mga halaga ng mga constant ay mula sa seksyong Blog na “Talahanayan ng mga Transcendental Constant...”

 

Parehong resulta.

 

6. Dibisyon ng dalawang constants na may kapangyarihan .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Eq. 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Eqn. 7a)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Eqn. 7b)

 

hal, mula sa (Eqn. 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

Mula sa (Eqn. 7a): ( C _{(( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − ( − 0.5 ))} =

= ( C _{( − 20 − 3.5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7.8333 ) ³

 

Gamit ang (Eqn. 2) upang kalkulahin ang resultang ito:

 

Mula sa pangkalahatang formula ng Transcendental Function:

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

At mula sa equation 7a:

 

( C _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

Mula sa (Eqn. 7b):

 

( C _{( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2.5 + 0.5 ))} =

= ( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Gamit ang (Eqn. 2) upang kalkulahin ang resultang ito:

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032 900 694...

 

ngayon:

 

( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

ibig sabihin, ang parehong resulta.

 

7. Pangkalahatang pormula para sa paghahati sa anumang bilang ng mga salik at anumang kapangyarihan .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Eqn. 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Eqn.8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + q × n + r × o + ... + z × x )) ) − 1 ⁄( C} 0 ^{) [ − 1 − (( P + Q + R + ... + ... + Z ) − ) +} ...

 

(Eqn. 8a) ay may limitasyon, tulad ng dati, na may mga kapangyarihan o index na katumbas ng "0."

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logarithms .

 

Nakakakuha tayo ng mga katulad na equation sa (Eqn. 5a, 5b, at 5c), na kumukuha ng logarithm sa magkabilang panig.

Masyadong nakakapagod na isulat ito dito.

 

Mga komento :

 

Sa lahat ng mga pormula ng Index Math na ito, ang Constant C ₀ = 0.986 976 350... ay tila pinakamahalaga, na para bang lahat ng iba pang mga constant ay maaaring kalkulahin sa partikular na Constant C ₀ plus C ₈ = π at C ₇ = e.

 

Narito ang mga link na nauugnay sa mga artikulong ito

 

1. Universal Transcendental Function at Universal Transcendental Constants na nagmula sa " π " at "e" >>> https://luxdeluce.com/398-185-4a-aklat-1-b-universal-transcendental-function-at-universal-transcendental-constants-na-nagmula-sa-at-e.html

 

 

2. Talaan ng mga Transcendental Constant na Bumababa >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Nai-update na Talahanayan ng mga Transcendental Constant na Tumataas >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Index Mathematics – isang Property of Transcendental Constants >>> https://luxdeluce.com/478-265-9-aklat-2-b-ilan-sa-mga-katangian-ng-transcendental-function.html