26 दिसंबर 2016 ई., सेंट स्टीफन का पर्व

 

मैंने गुणन, भाग, घात और लघुगणक के लिए सामान्य सूत्र निकाले।

जोड़ और घटाव निकालना अधिक चुनौतीपूर्ण है; यह केवल आंशिक रूप से ही किया गया था।

ट्रान्सेंडैंटल स्थिरांकों की गणना का अपना अनूठा तरीका है, यानी, वे जिसे मैं कहता हूं उसका उपयोग करते हैं, सूचकांक गणित .

 

इसका अर्थ है कि दिए गए स्थिरांकों के सूचकांकों (सबस्क्रिप्ट) का उपयोग गुणन, भाग, घातों और लघुगणक, संभवतः समाकलनों और व्युत्पन्नों के नए मानों की गणना करने के लिए किया जाता है।

मैं सरल उदाहरणों से शुरुआत करूंगा ताकि इसे समझना आसान हो जाए और फिर सामान्य सूत्र निकालूंगा।

 

1. उदाहरण के लिए, दो स्थिरांकों के गुणन को निम्न प्रकार से वर्णित किया जा सकता है :

 

सी _एम × सी _एन = ( सी _{( एम + एन )⁄ 2} ) ² (समीकरण 1)

 

तो, एक ठोस उदाहरण में, मान लीजिए

सी _एम = सी ₈ = π = 3.141 592 654...

और

सी _एन = सी ₇ = ई = 2.718 281 828...

तब

सी ₈ × सी ₇ = π × ई = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

अब,

( सी _{( एम + एन )⁄ 2} ) ² = ( सी _{( 8 + 7⁄2} ) ² = ( सी _{( 15⁄2 )} ) ² = ( सी _7.5 ) ²

 

"पुस्तक 1 - ट्रान्सेंडैंटल स्थिरांक - परिचय" से सूत्र समीकरण 11 का उपयोग करना।

हम वास्तविक सूचकांक के साथ स्थिरांक के किसी भी मान की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (समीकरण 2)

 

एफटी( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

इसका वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

(2.922 282 364...) ² = 8.539 734 216...

 

सापेक्ष त्रुटि है

ε = -0.000 000 001

अर्थात्, न्यूनतम त्रुटि (यदि हो तो) - गणना एक हस्त-चालित कैलकुलेटर पर की जाती है।

 

2. दो स्थिरांकों के गुणन के सूत्र में घात जोड़ना (समीकरण 1)

 

देता है:

 

( सी _एम ) ^पी × ( सी _एन ) ^क्यू = [ सी _{( पी × एम + क्यू × एन) ⁄ पी + क्यू )} ] ^{( पी + क्यू )} (समीकरण 3)

 

आइये पिछले उदाहरण को कुछ अतिरिक्त शक्तियों के साथ प्रयोग करें:

( सी ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( सी ₇ ) ³ = ( सी _{( (0.25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

बायाँ हाथ बराबर है

= 26.740 585 61...

 

और दायाँ हाथ पक्ष (फिर से, समीकरण 2 का उपयोग करके) है

= ( सी _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

सापेक्ष त्रुटि

ε = 0.000 000 001

 

3. किसी भी घात और गुणनखंडों की संख्या के लिए गुणन का सामान्य सूत्र ।

 

( सी _एम ) ^पी × ( सी _एन ) ^क्यू × ( सी _ओ ) ^आर × ... × ( सी _एक्स ) ^जेड = (समीकरण 4)

 

= [ सी _{( पी × एम + क्यू × एन + आर × ओ + ... + जेड × एक्स )⁄ ( पी + क्यू + आर + ... + जेड )} ] ^{( पी + क्यू + आर + ... + जेड )} = (समीकरण 4a)

= ( सी _{( पी × एम + क्यू × एन + आर × ओ + ... + जेड × एक्स )} ) × ( सी ₀ ) ^{( पी + क्यू + आर + ... + जेड - 1)} ( समीकरण 4 बी)

 

(समीकरण 4a) में p + q + r +...+ z ≠ 0; इसलिए (समीकरण 4b) अधिक सुदृढ़ है।

 

तीन गुणनखंडों और तीन घातों के लिए अंतिम सूत्र का उदाहरण, जिसका एक सूचकांक "0" के बराबर है; (अपवाद: इसे कार्य करने के लिए, 2X0 का मान 2 होना चाहिए)।

 

( सी ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( सी ₇ ) ^{− 3} × ( सी ₀ = 0.986976350...) ² = 0.064 568 027...

 

सामान्य सूत्र का दूसरा भाग देता है

( सी _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( सी _25.3333 ) ^{− 0.75} =

C _25.3333 की गणना के लिए समीकरण 2 का उपयोग करने पर हमें यह प्राप्त होता है

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

सामान्य सूत्र का तीसरा भाग देता है

( सी _{( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( सी ₀ ) ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( सी _{− 19} ) × ( सी ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

अतः तीनों परिणाम समान हैं।

 

4. उत्पादों और शक्ति के लघुगणक के लिए सामान्य सूत्र .

 

इसमें ज़्यादा कुछ नहीं है। लेकिन, समीकरण 4 का लघुगणक लेते हुए, हमें यह मिलता है:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (समीकरण 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (समीकरण 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (समीकरण 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( समीकरण 5c)

 

पुनः, (समीकरण 5b) में p + q + r +...+ z ≠ 0

 

सूचकांक "0" के बराबर स्थिरांक की शक्ति और सूचकांक का गुणन; (अपवाद: इसे काम करने के लिए ("शक्ति" या "सूचकांक") X 0 शक्ति के बराबर होना चाहिए या सूचकांक 0 के बराबर नहीं होना चाहिए)।

 

5. दो स्थिरांकों का विभाजन .

 

सी _एम ⁄ सी _एन = ( सी _{(- एम+एन )} ) ^{− 1} ⁄( सी ₀ ) ^{− 1} (समीकरण 6)

 

उदाहरण के लिए, सी ₈ ⁄ सी ₇ = π ⁄ ई = 1.155 727 350...

 

अब, (समीकरण 6) का उपयोग करके

 

सी ₈ ⁄ सी ₇ = π ⁄ ई = ( सी _{( − 8 + 7)} ) ^{- 1} ⁄( सी ₀ ) ^{- 1} =

= ( सी _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( सी ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

स्थिरांकों के मान ब्लॉग अनुभाग “ट्रान्सेंडैंटल स्थिरांकों की तालिका...” से लिए गए हैं।

 

वही परिणाम.

 

6. दो स्थिरांकों का घातों से विभाजन .

 

( सी _एम ) ^पी ⁄( सी _एन ) ^क्यू = (समीकरण 7)

 

= ( सी _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (समीकरण 7a)

= ( सी _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( समीकरण 7b)

 

उदाहरण के लिए, (समीकरण 7) से: ( सी ₈ ) ^2.5 ⁄( सी ₇ ) ^{- 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( ई ) ^{- 0.5} = 28.841 770 89...

(समीकरण 7a) से: ( सी _{(( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − ( − 0.5 ))} =

= ( सी _{( − 20 − 3.5⁄ − 3)} ) ³ = ( सी _7.8333 ) ³

 

के लिए (समीकरण 2) का उपयोग करें :

 

ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन का सामान्य सूत्र:

 

टीएफ( 7.8333) = ( सी ₀ ) × ( π ⁄ ई ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

और समीकरण 7a से:

 

( सी _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

(समीकरण 7बी) से:

 

( सी _{( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( सी ₀ ) ^{( − 1 − (2.5 + 0.5 ))} =

= ( सी _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( सी ₀ ) ^{− 4} =

 

इस परिणाम की गणना करने के लिए (समीकरण 2) का उपयोग करें:

 

टीएफ( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ ई ) ^{- 23.5} = 0.032 900 694...

 

अब:

 

( सी _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( सी ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

यानि, वही परिणाम.

 

7. किसी भी संख्या में कारक और किसी भी शक्ति के साथ विभाजन के लिए सामान्य सूत्र ।

 

(( सी _एम ) ^पी × ( सी _एन ) ^क्यू × ( सी _ओ ) ^आर × ...  × ( सी _एक्स ) ^जेड ) ÷ (( सी _एम ) ^पी × ( सी _एन ) ^क्यू × ( सी _ओ ) ^आर × ... × ( सी _एक्स ) ^जेड ) = (समीकरण 8)

 

= ( सी _{(( − पी × एम − क्यू × एन − आर × ओ − ... − जेड × एक्स ) + ( पी × एम + क्यू × एन + आर × ओ + ... + जेड × एक्स )⁄( − पी − क्यू − आर − ... − जेड ) + ( पी + क्यू + आर + ... + जेड ) )} ) ^{[ ( पी + क्यू + आर + ... + जेड ) − ( पी + क्यू + आर + ... + जेड )]} = (समीकरण 8a) =

( सी _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( समीकरण 8b)

 

(समीकरण 8a) में, पहले की तरह, एक सीमा है, जिसमें घात या सूचकांक "0" के बराबर हैं।

( − पी − क्यू − आर − ... − जेड )+ ( पी + क्यू + आर + ... + जेड ) ≠ 0

 

8. लघुगणक .

 

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर हमें (समीकरण 5a, 5b, और 5c) समान समीकरण प्राप्त होते हैं।

इसे यहां लिखना बहुत थकाऊ है।

 

टिप्पणियाँ :

 

इन सभी सूचकांक गणित सूत्रों में, स्थिरांक C ₀ = 0.986 976 350... अत्यंत महत्वपूर्ण प्रतीत होता है, मानो अन्य सभी स्थिरांकों की गणना इस विशेष स्थिरांक C ₀ प्लस C ₈ = π और C ₇ = e के साथ की जा सकती है।

 

इन लेखों से संबंधित लिंक यहां दिए गए हैं

 

1. यूनिवर्सल ट्रांसेंडेंटल फ़ंक्शन और यूनिवर्सल ट्रांसेंडेंटल स्थिरांक " π " और "e" से व्युत्पन्न >>> https://luxdeluce.com/417-204-4a-1.html

 

 

2. ट्रांसेंडेंटल स्थिरांक की तालिका नीचे जा रही है >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. ट्रान्सेंडैंटल स्थिरांक की अद्यतन तालिका ऊपर जा रही है >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. सूचकांक गणित - पारलौकिक स्थिरांक का एक गुण >>> https://luxdeluce.com/479-266-9-2.html