26 ديسمبر 2016 م، عيد القديس اسطفانوس

 

لقد استنتجت صيغًا عامة للضرب والقسمة والقوى واللوغاريتمات للثوابت المتعالية.

إن عملية الجمع والطرح أكثر صعوبة في الاستنتاج؛ حيث تم إجراؤها جزئيًا فقط.

تتمتع الثوابت المتعالية بطريقتها الفريدة في الحساب، أي أنها تستخدم ما أسميه، فهرس الرياضيات .

 

وهذا يعني أن المؤشرات (الفهارس) للثوابت المعطاة تُستخدم لحساب قيم جديدة للضرب والقسمة والقوى واللوغاريتمات، وربما التكاملات والمشتقات.

سأبدأ بأمثلة بسيطة حتى يكون من الأسهل فهمها ومن ثم استنباط الصيغ العامة.

 

1. على سبيل المثال، يمكن وصف عملية ضرب ثابتين على النحو التالي :

 

C _m

× C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (المعادلة 1)

 

لذا، في مثال ملموس، دعنا نقول

ج _م = ج ₈ = π = 3.141 592 654...

و

ج _ن = ج ₇ = هـ = 2.718 281 828...

ثم

ج ₈ × ج ₇ = π × ه = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

الآن،

( ج _{( م + ن )⁄ 2} ) ² = ( ج _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( ج _{( 15⁄2)} ) ² = ( ج _7.5 ) ²

 

باستخدام الصيغة المعادلة 11 من "الكتاب 1 - الثوابت المتسامية - المقدمة".

يمكننا حساب أي قيمة ثابتة ذات مؤشر حقيقي، على النحو التالي:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (المعادلة 2)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

التربيع الذي نحصل عليه

(2.922 282 364...) ² = 8.539 734 216...

 

الخطأ النسبي هو

ε = -0.000 000 001

أي، الحد الأدنى من الخطأ (إن وجد على الإطلاق) - يتم إجراء الحسابات على آلة حاسبة يدوية.

 

2. إضافة قوى إلى صيغة ضرب ثابتين (المعادلة 1)

 

يعطي:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (المعادلة 3)

 

دعونا نستخدم المثال السابق مع بعض الصلاحيات المضافة:

( ج ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( ج ₇ ) ³ = ( ج _{( ( 0.25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

الجانب الأيسر يساوي

= 26.740 585 61...

 

والجانب الأيمن (مرة أخرى، باستخدام المعادلة 2) هو

= ( ج _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

الخطأ النسبي

ε = 0.000 000 001

 

3. الصيغة العامة لعملية الضرب لأي قوى وعدد من العوامل .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (المعادلة 4)

 

= [ ج _{( ص × م + س × ن + ر × س + ... + ز × س )⁄ ( ص + س + ر + ... + ز )} ] ^{( ص + س + ر + ... + ز )} = (المعادلة 4أ)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Eqn.4b)

 

في (المعادلة 4أ) p + q + r +...+ z ≠ 0؛ لذا فإن (المعادلة 4ب) أكثر قوة.

 

مثال على الصيغة الأخيرة لثلاثة عوامل وثلاث قوى ذات مؤشر واحد يساوي "0"؛ (الاستثناء: لجعلها تعمل، يجب أن يساوي 2X0 2).

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0.986976350...) ² = 0.064 568 027...

 

الجزء الثاني من الصيغة العامة يعطي

( ج _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( ج _25.3333 ) ^{− 0.75} =

باستخدام المعادلة 2 لحساب C _25.3333 نحصل على

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

الجزء الثالث من الصيغة العامة يعطي

( ج _{( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( ج ₀ ) ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( ج _{− 19} ) × ( ج ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

لذا، النتائج الثلاثة هي نفسها.

 

4. الصيغة العامة للوغاريتم للحاصل والقوة .

 

ليس هناك الكثير. ولكن، بأخذ لوغاريتمات المعادلة الرابعة، نحصل على:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (المعادلة 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (المعادلة 5أ)

 

= ( ص + س + ر + … + ز ) × ل ن ( ج _{( ص × م + س × ن + ر × س + ... + ز × س ⁄ص + س + ر + ... + ز )} ) = (المعادلة 5ب ₎

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( المعادلة 5ج)

 

مرة أخرى، في (المعادلة 5ب) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

ضرب قوة ومؤشر الثابت بمؤشر يساوي "0"؛ (استثناء: لجعله يعمل ("قوة" أو "مؤشر") يجب أن يكون X 0 مساويًا للقوة أو المؤشر الذي لا يساوي 0).

 

5. قسمة ثابتين .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (المعادلة 6)

 

على سبيل المثال، C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

الآن، باستخدام (المعادلة 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( ج _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( ج ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

قيم الثوابت مأخوذة من قسم المدونة "جدول الثوابت المتسامية..."

 

نفس النتائج.

 

6. قسمة ثابتين مع القوى .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (المعادلة 7)

 

= ( ج _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (المعادلة 7أ)

= ( ج _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( المعادلة 7ب)

 

على سبيل المثال، من (المعادلة 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

من (المعادلة 7أ): ( ج _{(( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − ( − 0.5 ))} =

= ( ج _{( − 20 − 3.5⁄ − 3)} ) ³ = ( ج _7.8333 ) ³

 

باستخدام (المعادلة 2) لحساب هذه النتيجة:

 

من الصيغة العامة للدالة المتعالية:

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

ومن المعادلة 7أ:

 

( ج _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

من (المعادلة 7ب):

 

( ج _{( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( ج ₀ ) ^{( − 1 − (2.5 + 0.5 ))} =

= ( ج _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( ج ₀ ) ^{− 4} =

 

باستخدام (المعادلة 2) لحساب هذه النتيجة:

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032900694...

 

الآن:

 

( ج _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( ج ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

أي نفس النتيجة.

 

7. الصيغة العامة للقسمة مع أي عدد من العوامل وأي قوى .

 

(( ج _م ) ^ب × ( ج _ن ) ^س × ( جـ ₎ ^ر × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (المعادلة 8)

 

= ( ج _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (المعادلة 8أ) =

( ج _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( المعادلة 8ب)

 

(المعادلة 8أ) لها حد، كما في السابق، مع قوى أو مؤشرات تساوي "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. اللوغاريتمات .

 

نحصل على معادلات مشابهة لـ (المعادلة 5أ، 5ب، و5ج)، مع أخذ اللوغاريتم على كلا الجانبين.

من الممل جدًا أن أكتبه هنا.

 

تعليقات :

 

في كل صيغ الرياضيات هذه، يبدو أن الثابت C ₀ = 0.986 976 350... له أهمية قصوى، كما لو كان من الممكن حساب جميع الثوابت الأخرى باستخدام هذا الثابت C ₀ بالإضافة إلى C ₈ = π و C ₇ = e.

 

 

 

وهنا الروابط المتعلقة بهذه المقالات

 

1. الدالة المتسامية العالمية والثوابت المتسامية العالمية المشتقة من " π " و"e" >>> https://luxdeluce.com/416-203-1-e.html

 

 

2. جدول الثوابت المتعالية ينزل >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. جدول محدث للثوابت المتعالية يتزايد >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. فهرس الرياضيات - خاصية الثوابت المتسامية >>> https://luxdeluce.com/480-267-9-2.html