26 בדצמבר 2016 לספירה, חג סטפן הקדוש

 

גזרתי נוסחאות כלליות לכפל, חילוק, חזקות ולוגריתמים עבור הקבועים הטרנסצנדנטליים.

חיבור וחיסור מאתגרים יותר לגזירה; זה נעשה רק באופן חלקי.

לקבועים טרנסצנדנטליים יש דרך חישוב ייחודית משלהם, כלומר, הם משתמשים במה שאני קורא, מתמטיקה של אינדקס .

 

משמעות הדבר היא שאינדקסים (כתבים תחתיים) של הקבועים הנתונים משמשים לחישוב ערכים חדשים של כפל, חילוק, חזקות ולוגריתמים, אולי אינטגרלים ונגזרות.

אתחיל עם דוגמאות פשוטות כדי שיהיה קל יותר להבין אותן ולאחר מכן אתחיל לגזור את הנוסחאות הכלליות.

 

1. לדוגמה, ניתן לתאר את הכפל של שני קבועים באופן הבא :

 

C _m

× C _n = ( C _{( m + n )/ 2} ) ² (משוואה 1)

 

אז, בדוגמה קונקרטית, נניח

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

ו

Cn = C7 = _e = 2.718281828 _...

אָז

C ₈ × C ₇ = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

עַכשָׁיו,

( C _{( m + n )/ 2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7/2)} ) ² = ( C _{( 15/2)} ) ² = ( C7.5 ) ²

 

שימוש בנוסחה משוואה 11 מתוך "ספר 1 - קבועים טרנסצנדנטליים - מבוא".

נוכל לחשב כל ערך קבוע עם אינדקס ממשי, באופן הבא:

 

FT(x) = ( C₁ ₎ × (π/ e) ^x (משוואה 2)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

ריבוע שאנו מקבלים

(2.922 282 364...) ² = 8.539 734 216...

 

שגיאה יחסית היא

ε = -0.000 000 001

כלומר, שגיאה מינימלית (אם בכלל) - החישובים נעשים במחשבון ידני.

 

2. הוספת חזקות לנוסחה לכפל של שני קבועים (משוואה 1)

 

נותן:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) / p + q )} ] ^{( p + q )} (משוואה 3)

 

בואו נשתמש בדוגמה הקודמת עם כמה כוחות נוספים:

( C8 ₎ ^1/4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0.25 _{× 8 + 3 × 7) /0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

צד שמאל שווה ל

= 26.740 585 61...

 

וצד ימין (שוב, באמצעות משוואה 2) הוא

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

שגיאה יחסית

ε = 0.000 000 001

 

3. הנוסחה הכללית לכפל עבור כל חזקה ומספר גורמים .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ משוואה 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (משוואה 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z - 1)} ( Eqn.4b)

 

ב-(משוואה 4א) p + q + r +...+ z ≠ 0; לכן ה-(משוואה 4ב) חזקה הרבה יותר.

 

דוגמה לנוסחה האחרונה עבור שלושה גורמים ושלוש חזקות עם אינדקס אחד שווה ל-"0"; (חריג: כדי שזה יעבוד, 2X0 חייב להיות שווה ל-2).

 

( C8 ₎ ^{1/4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0.986976350 ...) ² = 0.064 568 027 ...

 

החלק השני של הנוסחה הכללית נותן

( C _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)/ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( C _25.3333 ) ^{− 0.75} =

באמצעות משוואה 2 כדי לחשב את C _25.3333 נקבל

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

החלק השלישי של הנוסחה הכללית נותן

( C _{( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ⁽ 0.25 ^{− 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

אז, כל שלוש התוצאות זהות.

 

4. הנוסחה הכללית ללוגריתם של המכפלות והחזקה .

 

אין בזה הרבה. אבל, אם נחשוב על הלוגריתמים של משוואה 4, נקבל:

 

ln[( Cm ) p ^× ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × … × ( _{Cx )} z ] ⁼ ( משוואה 5)

 

= p × ln( C _m ) + q × ln( C _n ) + r × ln( C _o ) +… + z × ln( C _x ) = (משוואה 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (משוואה 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( משוואה _5c )

 

שוב, ב(משוואה 5ב) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

כפל חזקה ואינדקס של הקבוע כאשר האינדקס שווה ל-"0"; (למעט: כדי שזה יעבוד ("חזקה" או "אינדקס") X 0 חייב להיות שווה לחזקה או שהאינדקס אינו שווה ל-0).

 

5. חילוק של שני קבועים .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (משוואה 6)

 

למשל, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

כעת, באמצעות (משוואה 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

ערכי הקבועים לקוחים ממדור הבלוג "טבלת קבועים טרנסצנדנטליים..."

 

אותן תוצאות.

 

6. חילוק של שני קבועים בחזקות .

 

( C _M ) ^P / ( C _n ) ^q = (משוואה 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) / − P + q )} ) ^{( P − q )} = (משוואה 7א)

= ( ג _{(- P × M + q × n )} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( משוואה 7b)

 

למשל, מתוך (משוואה 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

מ(משוואה 7א): ( C _{((− 2.5 × 8−0.5 × 7)⁄−2.5−0.5 ) )} ( ^{2.5 − (− 0.5 ))} =

= ₍ C ( ^−20⁄ _...​​_​​^​

 

שימוש ב-(משוואה 2) כדי לחשב תוצאה זו:

 

מהנוסחה הכללית של הפונקציה הטרנסצנדנטלית:

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

וממשוואה 7א:

 

( C _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

מתוך (משוואה 7ב):

 

( C _{( −2.5 × 8−0.5 × 7)} ) ⁻¹ /( _C0 ) ( ^{− 1−(2.5 + 0.5 ))} =

= ( C _{− 23.5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} =

 

שימוש ב-(משוואה 2) כדי לחשב תוצאה זו:

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032 900 694...

 

עַכשָׁיו:

 

( C _{− 23.5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

כלומר, אותה תוצאה.

 

7. נוסחה כללית לחילוק עם כל מספר גורמים וכל חזקה .

 

(( ג' _מ' ) ^פ × ( CN ₎ ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ) ^r × ... × ( Cx) z ₎ ⁼ _{( משוואה} 8)

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (משוואה 8a) =

( ג _{((-) P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( משוואה 8b)

 

(משוואה 8א) כוללת מגבלה, כמו קודם, עם חזקות או אינדקסים השווים ל-"0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. לוגריתמים .

 

אנו מקבלים משוואות דומות ל-(משוואות 5a, 5b ו-5c), כאשר אנו לוקחים את הלוגריתם משני הצדדים.

זה משעמם מדי לכתוב את זה כאן.

 

הערות :

 

בכל נוסחאות המתמטיקה של אינדקס, הקבוע _C₁₀ = 0.986₆₀₀... נראה בעל חשיבות עליונה, כאילו ניתן לחשב את כל הקבועים האחרים עם הקבוע הספציפי הזה _C₁₀ ועוד C₃ = π _ו- C₃ = _e .

 

 

הנה הקישורים הקשורים למאמרים אלה

 

1. פונקציה טרנסצנדנטלית אוניברסלית וקבועים טרנסצנדנטליים אוניברסליים הנגזרים מ-" π " ו-"e" >>> https://luxdeluce.com/414-201-4a-1.html

 

 

2. טבלת קבועים טרנסצנדנטליים יורדים >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. טבלה מעודכנת של קבועים טרנסצנדנטליים שעולים >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. מתמטיקה של אינדקס - תכונה של קבועים טרנסצנדנטליים >>> https://luxdeluce.com/482-269-9-2.html