26 grudnia 2016 r. n.e., święto św. Szczepana

 

Wyprowadziłem ogólne wzory na mnożenie, dzielenie, potęgowanie i logarytmy dla stałych transcendentalnych.

Dodawanie i odejmowanie są trudniejsze do wyprowadzenia; zrobiono to tylko częściowo.

Stałe transcendentalne mają swój unikalny sposób obliczania, tzn. wykorzystują to, co nazywam Indeks Matematyka .

 

Oznacza to, że indeksy (indeksy dolne) danych stałych służą do obliczania nowych wartości mnożenia, dzielenia, potęg i logarytmów, a także ewentualnie całek i pochodnych.

Zacznę od prostych przykładów, aby łatwiej było zrozumieć, a następnie wyprowadzę ogólne wzory.

 

1. Na przykład mnożenie dwóch stałych można opisać następująco :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Równ. 1)

 

Tak więc w konkretnym przykładzie powiedzmy

do _m = do ₈ = π = 3,141 592 654...

I

C _n = C ₇ = e = 2,718 281 828...

Następnie

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Teraz,

( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² = ( C _{( 8 + 7⁄2} ) ² = ( C _{( 15⁄2} ) ² = ( C _7,5 ) ²

 

Korzystając ze wzoru Równ. 11 z „Księgi 1 – Stałe transcendentalne – Wprowadzenie”.

możemy obliczyć dowolną wartość stałej o indeksie rzeczywistym w następujący sposób:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (Równ. 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Kwadratowo to otrzymujemy

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Błąd względny wynosi

ε = -0,000 000 001

tzn. minimalny błąd (jeśli w ogóle) - obliczenia wykonuje się na kalkulatorze przenośnym.

 

2. Dodawanie potęg do wzoru na mnożenie dwóch stałych (równanie 1)

 

daje:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (Równ. 3)

 

Użyjmy poprzedniego przykładu z kilkoma dodatkowymi potęgami:

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ³ = ( C _{( (0,25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Lewa strona równa się

= 26.740 585 61...

 

A prawa strona (ponownie, używając równania 2) to

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Błąd względny

ε = 0,000 000 001

 

3. Ogólny wzór mnożenia dowolnych potęg i czynników .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (Równ. 4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Równ. 4a)

= ( do _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( do ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z - 1)} ( Równanie 4b)

 

W (równaniu 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; zatem (równanie 4b) jest znacznie bardziej niezawodne.

 

Przykład ostatniego wzoru na trzy czynniki i trzy potęgi z jednym indeksem równym „0”; (wyjątek: aby to zadziałało, 2X0 musi być równe 2).

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0,986976350...) ² = 0,064 568 027...

 

Druga część wzoru ogólnego daje

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _25,3333 ) ^{− 0,75} =

Używając równania 2 do obliczenia C _25,3333 otrzymujemy

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Trzecia część wzoru ogólnego daje

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C ₋₁₉ ) × ₍ C0 ) ^−1,75 =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Wszystkie trzy wyniki są więc takie same.

 

4. Ogólny wzór na logarytm iloczynu i potęgi .

 

Nie ma w tym wiele. Ale biorąc logarytmy równania 4, otrzymujemy:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (Równ. 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (Równ. 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (Równ. 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( Równ. 5c)

 

Ponownie w równaniu 5b p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Mnożenie potęgi i indeksu stałej o indeksie równym „0”; (wyjątek: aby to zadziałało („potęga” lub „indeks”) X 0 musi być równe potędze lub indeksowi różnemu od 0).

 

5. Dzielenie dwóch stałych .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Równ. 6)

 

np. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Teraz używając (równania 6)

 

do ₈ ⁄ do ₇ = π ⁄ mi = ( do _{( - 8 + 7)} ) ^{- 1} ⁄( do ₀ ) ^{- 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Wartości stałych pochodzą z sekcji bloga „Tabela stałych transcendentalnych...”

 

Takie same wyniki.

 

6. Dzielenie dwóch stałych przez potęgi .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Równ. 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Równ. 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Równ. 7b)

 

np. z (Równanie 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{- 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( mi ) ^{- 0,5} = 28,841 770 89...

Z (równania 7a): ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 ))} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( C _{( − 20 − 3,5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7,8333 ) ³

 

Oblicz ten wynik, korzystając z równania 2 :

 

Ze wzoru ogólnego funkcji transcendentalnej:

 

TF( 7,8333) = ( do ₀ ) × ( π / mi ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

A z równania 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Z (równanie 7b):

 

( C _{( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _−23,5 ) ^−1⁄ ( C0 ₎ ⁻⁴ =

 

Oblicz ten wynik, korzystając z równania 2:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ mi ) ^{- 23,5} = 0,032 900 694...

 

Teraz:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

tj. ten sam wynik.

 

7. Ogólny wzór dzielenia przez dowolną liczbę czynników i dowolną potęgę .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Równ. 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Równ. 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Równ. 8b)

 

(Równ. 8a) ma, jak poprzednio, ograniczenie w postaci potęg lub indeksów równych „0”.

(− P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logarytmy .

 

Otrzymujemy podobne równania do (równań 5a, 5b i 5c), logarytmując po obu stronach.

Pisanie o tym tutaj byłoby zbyt żmudne.

 

Uwagi :

 

We wszystkich tych wzorach Index Math stała _C0 = 0,986 976 350... wydaje się mieć ogromne znaczenie, tak jakby wszystkie inne stałe można było obliczyć przy pomocy tej konkretnej stałej _C0 plus C8 = _π i C7 ₌ e.

 

Oto linki powiązane z tymi artykułami

 

1. Uniwersalna Funkcja Transcendentalna i Uniwersalne Stałe Transcendentalne wyprowadzone z „ π ” i „e” >>> https://luxdeluce.com/396-183-4a-ksiega-1-b-uniwersalna-funkcja-transcendentalna-i-uniwersalna-stale-transcendentalne-pochodzace-od-ie.html

 

 

2. Tabela stałych transcendentalnych w dół >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Zaktualizowana tabela stałych transcendentalnych idących w górę >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Matematyka indeksowa – własność stałych transcendentalnych >>> https://luxdeluce.com/484-271-9-ksiega-2-b-niektore-wlasnosci-funkcji-transcendentalnej.html