272. 9. Bok 2-b - Några av egenskaperna hos transcendental funktion
26 december 2016 e.Kr., Sankt Stefans fest
Jag härledde allmänna formler för multiplikation, division, potenser och logaritmer för de transcendentala konstanterna.
Addition och subtraktion är svårare att härleda; det gjordes bara delvis.
Transcendentala konstanter har sina unika beräkningsmetoder, dvs. de använder vad jag kallar,Indexmatematik .
Det betyder att index (sänkta tecken) för de givna konstanterna används för att beräkna nya värden för multiplikation, division, potenser och logaritmer, eventuellt integraler och derivator.
Jag börjar med enkla exempel så att det är lättare att förstå och sedan härleder jag de allmänna formlerna.
Till exempel kan multiplikationen av två konstanter beskrivas enligt följande :
C m × C n = ( C ( m + n )/ 2 ) 2 (ekvation 1)
Så, i ett konkret exempel, låt oss säga
C m = C8 = π = 3,141 592 654 ...
Och
Cn = C7 = e = 2,718 281 828 ...
Sedan
C 8 × C 7 = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...
Nu,
( C ( m + n )⁄2 ) 2 = ( C ( 8 + 7⁄2) ) 2 = ( C ( 15⁄2) ) 2 = ( C7,5 ) 2
Med hjälp av formeln Ekvation 11 från "Bok 1 - Transcendentala konstanter - Introduktion".
Vi kan beräkna vilket konstantvärde som helst med reellt index, enligt följande:
Den allmänna formeln för multiplikation för valfria potenser och antal faktorer .
( Cm ) p × ( Cn ) q × ( Co ) r × ... × ( Cx ) z = ( Ekvation 4 )
= [ C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/ ( p + q + r + ... + z ) ] ( p + q + r + ... + z ) = (Ekvation 4a)
= ( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ) ) × ( C 0 ) ( p + q + r + ... + z − 1) ( Ekv.4b)
I (ekv. 4a) är p + q + r +...+ z ≠ 0; så är (ekv. 4b) mycket mer robust.
Exempel på den sista formeln för tre faktorer och tre potenser med ett index lika med "0"; (undantag: för att det ska fungera måste 2X0 vara lika med 2).
Den allmänna formeln för logaritmen av produkterna och potensen .
Det är inte mycket som talar för det. Men om vi tar logaritmerna av ekvation 4 får vi:
ln[( Cm)p × (Cn) q × ( Co ) r × … × ( Cx ) z ] = ( Ekvation 5 )
= p × ln( Cm ) + q × ln( Cn ) + r × ln( Co ) +… + z × ln( Cx ) = (Ekvation 5a)
= ( p + q + r + … + z ) × ln( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z ) ) = (Ekvation 5b)
= ln( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ) ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Ekvation 5c )
Återigen, i (ekv. 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0
Multiplikation av potens och index för konstanten med index lika med "0"; (undantag: för att det ska fungera ("potens" eller "index") måste X 0 vara lika med potens eller så måste index inte vara lika med 0).
Division av två konstanter .
C M ⁄ C n = ( C (- M + n ) ) − 1 ⁄ ( C 0 ) − 1 (ekvation 6)
t.ex. C 8 ⁄ C 7 = π ⁄ e = 1,155 727 350...
Nu, med hjälp av (ekv. 6)
C 8 ⁄ C 7 = π ⁄ e = ( C ( − 8 + 7) ) − 1 ⁄( C 0 ) − 1 =
Allmän formel för division med valfritt antal faktorer och valfria potenser .
( ( CM ) P × ( CN ) Q × ( C O ) R × ... × ( CX ) Z ) ÷ (( Cm ) p × ( Cn ) q × ( Co ) r × ... × ( Cx ) z ) = (Ekvation 8 )
= ( C ((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) ) ) [ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )] = (Ekvation 8a) =
( C (( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )) ) − 1 /( C0 ) [ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )] ( Ekvation 8b)
(Ekv. 8a) har en begränsning, liksom tidigare, med potenser eller index lika med "0".
( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0
Logaritmer .
Vi får liknande ekvationer som (ekv. 5a, 5b och 5c), med logaritmen på båda sidor.
Det är för tråkigt att skriva det här.
Kommentarer :
I alla dessa Index Math-formler verkar konstanten C0 = 0,986 976 350... vara av yttersta vikt, som om alla andra konstanter kan beräknas med just denna konstant C0 plus C8 = π och C7 = e.
Comments powered by CComment