2016. december 26., Szent István ünnepe

 

Általános képleteket származtattam a transzcendentális állandók szorzására, osztására, hatványozására és logaritmusára.

Az összeadás és a kivonás levezetése nehezebb; csak részben sikerült.

A transzcendentális konstansoknak egyedi számítási módszerük van, azaz az úgynevezett módszert használják, Index Matematika .

 

Ez azt jelenti, hogy az adott konstansok indexeit (alsó indexeit) használjuk a szorzás, osztás, hatványozás és logaritmus új értékeinek, esetleg integrálok és deriváltak kiszámításához.

Egyszerű példákkal kezdem, hogy könnyebb legyen megérteni, majd levezetem az általános képleteket.

 

1. Például két állandó szorzása a következőképpen írható le :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (1. egyenlet)

 

Tehát, egy konkrét példában mondjuk,

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

És

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Majd

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2 718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Jelenleg,

( C _{( m + n )⁄2 )} ² ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ ² ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ^² = ( C7,5 ₎ ²

 

A "1. könyv - Transzcendentális állandók - Bevezetés" című könyv 11. egyenletének képletét használva.

A valós indexű konstans bármely értékét kiszámíthatjuk az alábbiak szerint:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (2. egyenlet)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

A kapott négyzetre emelés

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

A relatív hiba

ε = -0,000 000 001

azaz minimális hiba (ha egyáltalán) – a számításokat kézi számológépen végzik.

 

2. Két állandó szorzásának képletének hatványozása (1. egyenlet)

 

adja:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (3. egyenlet)

 

Használjuk az előző példát néhány hozzáadott képességgel:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( _0,25 × ⁸ _{+ 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Bal oldal egyenlő ezzel:

= 26,740 585 61...

 

És a jobb oldal (ismét a 2. egyenlet felhasználásával)

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relatív hiba

ε = 0,000 000 001

 

3. Az általános képlet a szorzásra tetszőleges hatványok és tényezők esetén .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (4. egyenlet)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (4a. egyenlet)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( 4b. egyenlet)

 

A (4a) egyenletben p + q + r +...+ z ≠ 0; tehát a (4b) egyenlet sokkal robusztusabb.

 

Példa az utolsó képletre három tényezőre és három hatványra, ahol az egyik index egyenlő "0"-val; (kivétel: ahhoz, hogy működjön, 2X0-nak egyenlőnek kell lennie 2-vel).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Az általános képlet második része megadja

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _25,3333 ) ^{− 0,75} =

A 2. egyenlet felhasználásával kiszámítjuk a C _25,3333-at, és ezt kapjuk:

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Az általános képlet harmadik része megadja

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

₌ ( C _{− 19} ) × ( C0 ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Tehát mindhárom eredmény ugyanaz.

 

4. A szorzatok és a hatvány logaritmusának általános képlete .

 

Nincs benne sok minden. De a 4. egyenlet logaritmusát véve, a következőt kapjuk:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (5. egyenlet)

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( C0 ₎ +… + z × _ln ( Cx ) = (5a. egyenlet)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (5b. egyenlet)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( 5c. egyenlet)

 

Ismét az (5b. egyenletben) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

A „0” indexű állandó hatványának és indexének szorzása; (kivétel: ahhoz, hogy működjön („hatvány” vagy „index”), az X 0-nak meg kell egyeznie a hatvánnyal, vagy az indexnek nem kell egyenlőnek lennie 0-val).

 

5. Két állandó osztása .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M + n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (6. egyenlet)

 

pl. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Most, a (6. egyenlet) felhasználásával

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

A konstansok értékei a blog „Transzcendentális konstansok táblázata...” című részéből származnak.

 

Ugyanazok az eredmények.

 

6. Két állandó osztása hatványokkal .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (7. egyenlet)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (7a. egyenlet)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( 7b. egyenlet)

 

pl. (7. egyenletből): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

A (7a) egyenletből: ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7,8333 ) ³

 

A (2. egyenlet) segítségével kiszámítható az eredmény:

 

A transzcendentális függvény általános képletéből:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

És a 7a egyenletből:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

(7b egyenlet) alapján:

 

( C _{( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} =

 

A (2. egyenlet) segítségével kiszámítható az eredmény:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Jelenleg:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C0 ₎ ^{− 4} = (0,032 900 694...) − ¹ ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

azaz ugyanaz az eredmény.

 

7. Általános képlet az osztásra tetszőleges számú tényezővel és tetszőleges hatványokkal .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (8. egyenlet)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − ) P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (8a. egyenlet) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( 8b. egyenlet)

 

(8a. egyenlet) a korábbiakhoz hasonlóan korlátozással rendelkezik, a hatványok vagy indexek egyenlőek "0"-val.

( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmusok .

 

Hasonló egyenleteket kapunk, mint az (5a, 5b és 5c egyenletek), mindkét oldal logaritmusát véve.

Túl unalmas lenne ide leírni.

 

Hozzászólások :

 

Mindezen Index Math képletekben a C ₀ = 0,986 976 350... konstans tűnik kiemelkedően fontosnak, mintha az összes többi konstans kiszámítható lenne ezzel a C _{0 konstanssal,} plusz C ₈ = π és C ₇ = e kiegészítéssel.

 

 

Itt vannak a cikkekhez kapcsolódó linkek

 

1. π "-ből és "e" -ből származtatott univerzális transzcendentális függvény és univerzális transzcendentális állandók >>> https://luxdeluce.com/499-286-4-1-b-koenyv-univerzalis-transzcendentalis-funkcio-es-a-pi-bol-es-e-bol-szarmaztatott-univerzalis-transzcendentalis-allandok.html

 

 

2. A transzcendentális állandók táblázata lefelé haladva >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. A transzcendentális állandók frissített táblázata >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Index Matematika – a transzcendentális állandók tulajdonsága >>> https://luxdeluce.com/500-287-9-2-b-koenyv-a-transzcendentalis-fueggveny-nehany-tulajdononsaga.html