2016 m. gruodžio 26 d., Šv. Stepono šventė

 

Aš išvedžiau bendrąsias transcendentinių konstantų daugybos, dalybos, laipsnių ir logaritmų formules.

Sudėtis ir atimtis yra sudėtingiau išvesti; tai buvo atlikta tik iš dalies.

Transcendentinės konstantos turi unikalų skaičiavimo būdą, t. y. jos naudoja tai, ką aš vadinu, Matematikos rodyklė .

 

Tai reiškia, kad duotų konstantų indeksai (apatiniai indeksai) naudojami naujoms daugybos, dalybos, laipsnių ir logaritmų reikšmėms, galbūt integralams ir išvestinėms, apskaičiuoti.

Pradėsiu nuo paprastų pavyzdžių, kad būtų lengviau suprasti, o tada išvešiu bendrąsias formules.

 

1. Pavyzdžiui, dviejų konstantų daugybą galima apibūdinti taip :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (1 lygtis)

 

Taigi, tarkime, konkrečiame pavyzdyje

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

Ir

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Tada

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2 718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Dabar,

( C _{( m + n )⁄2 )} ² ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ ² ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ^² = ( C7,5 ) _²

 

Naudojant 11 lygtį iš „1 knyga – Transcendentinės konstantos – Įvadas“.

Bet kurią konstantos su realiuoju indeksu reikšmę galime apskaičiuoti taip:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (2 lygtis)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Kvadratu gaunamas

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Santykinė paklaida yra

ε = -0,000 000 001

t. y. minimali paklaida (jei jos iš viso yra) – skaičiavimai atliekami rankiniu skaičiuotuvu.

 

2. Dviejų konstantų daugybos formulės laipsnių pridėjimas (1 lygtis)

 

duoda:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (3 lygtis)

 

Panaudokime ankstesnį pavyzdį su kai kuriais papildomais įgaliojimais:

( C8 ₎ ^1/4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( _0,25 × _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Kairė pusė lygi

= 26,740 585 61...

 

Ir dešinė pusė (vėlgi, naudojant 2 lygtį) yra

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Santykinė paklaida

ε = 0,000 000 001

 

3. Bendroji bet kokių laipsnių ir bet kurio skaičiaus daugybos formulė .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (4 lygtis)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (4a lygtis)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( 4b lygtis)

 

(4a lygtyje) p + q + r +...+ z ≠ 0; taigi (4b lygtis) yra daug patikimesnė.

 

Paskutinės formulės pavyzdys, kai trys veiksniai ir trys laipsniai yra vienas indeksas lygus „0“; (išimtis: kad ji veiktų, 2X0 turi būti lygus 2).

 

( C8 ₎ ^{1/4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Antroji bendrosios formulės dalis pateikia

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C25,3333 ) ^{− 0,75} =

C _25,3333 apskaičiavimui, gauname

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Trečioji bendrosios formulės dalis pateikia

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0} )) × (C0) ₍ 0,25 − 3 ₊ ^{2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( _C0 ) − ^1,75 =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Taigi, visų trijų rezultatai yra vienodi.

 

4. Bendroji sandaugų ir laipsnių logaritmo formulė .

 

Čia nėra daug ką pasakyti. Tačiau, logaritmuodami 4 lygtį, gauname:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (5 lygtis)

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( C0 ₎ +… + z × _ln ( Cx ) = (5a lygtis)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( _C ( _{p × m + q × n + r × o + ... + z × x⁄p + q + r + ... + z ) )} = (5b lygtis)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( _5c lygtis)

 

Vėlgi, (5b lygtyje) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Konstantos, kurios indeksas lygus „0“, laipsnio daugyba indeksu; (išimtis: kad tai veiktų („laipsnis“ arba „indeksas“), X0 turi būti lygus laipsniui arba indeksas neturi būti lygus 0).

 

5. Dviejų konstantų dalyba .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M + n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (6 lygtis)

 

pvz., C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1 155 727 350...

 

Dabar, naudojant (6 lygtį)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1/(C0) − ₁ = ⁽ 0,853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Konstantų reikšmės yra iš tinklaraščio skyriaus „Transcendentinių konstantų lentelė...“

 

Tie patys rezultatai.

 

6. Dviejų konstantų dalyba laipsniais .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (7 lygtis)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (7a lygtis)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( 7b lygtis)

 

pvz., iš (7 lygtis): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Iš (7a lygties): ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( _C ( _{−20−3,5⁄ −3)} ) ³ = ( C7,8333 ) ³

 

Naudojant (2 lygtį) šiam rezultatui apskaičiuoti:

 

Iš transcendentinės funkcijos bendrosios formulės:

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

Ir iš 7a lygties:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Iš (7b lygties):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( C0) ( ₋ ^{1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( _C − _23,5 ) ^{− 1} /( C0 ) ^{− 4} =

 

Naudojant (2 lygtį) šiam rezultatui apskaičiuoti:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Dabar:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C0 ₎ ^{− 4 =} ( 0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

t. y. tas pats rezultatas.

 

7. Bendroji dalybos formulė su bet kokiu daugiklių skaičiumi ir bet kokiais laipsniais .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (8 lygtis)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − ) P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (8a lygtis) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( 8b lygtis)

 

(8a lygtis), kaip ir anksčiau, turi apribojimą, kai laipsniai arba indeksai yra lygūs „0“.

(−) P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmai .

 

Gauname panašias lygtis kaip (5a, 5b ir 5c lygtys), logaritmuodami abiejose pusėse.

Per daug nuobodu čia rašyti.

 

Komentarai :

 

Visose šiose „Index Math“ formulėse konstanta C ₀ = 0,986 976 350... atrodo esanti nepaprastai svarbi, tarsi visas kitas konstantas būtų galima apskaičiuoti naudojant šią konkrečią konstantą C ₀ plius C ₈ = π ir C ₇ = e.

 

 

Čia pateikiamos nuorodos, susijusios su šiais straipsniais

 

1. Universalioji transcendentinė funkcija ir universaliosios transcendentinės konstantos, išvestos iš „ π “ ir „e“ >>> https://luxdeluce.com/501-288-4-1-b-knyga-visuotine-transcendentine-funkcija-ir-universalios-transcendentines-konstantos-gautos-is-pi-ir-e.html

 

 

2. Transcendentinių konstantų lentelė mažėjančia tvarka >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Atnaujinta transcendentinių konstantų lentelė didėjančia tvarka >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Matematikos rodyklė – transcendentinių konstantų savybė >>> https://luxdeluce.com/502-289-9-2-b-knyga-kai-kurios-transcendentines-funkcijos-savybes.html