26. prosinca 2016., blagdan sv. Stjepana

 

Izveo sam opće formule za množenje, dijeljenje, potencije i logaritme za transcendentalne konstante.

Zbrajanje i oduzimanje je teže izvesti; izvedeno je samo djelomično.

Transcendentalne konstante imaju svoj jedinstveni način izračuna, tj. koriste ono što ja nazivam, Indeks matematike .

 

To znači da se indeksi (indeksi) zadanih konstanti koriste za izračunavanje novih vrijednosti množenja, dijeljenja, potencija i logaritama, eventualno integrala i derivacija.

Počet ću s jednostavnim primjerima kako bi bilo lakše razumjeti, a zatim izvesti opće formule.

 

1. Na primjer, množenje dviju konstanti može se opisati na sljedeći način :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁽ jednadžba 1)

 

Dakle, recimo u konkretnom primjeru

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

I

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Zatim

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Sada,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Koristeći formulu Jednadžba 11 iz "Knjige 1 - Transcendentalne konstante - Uvod".

Možemo izračunati bilo koju vrijednost konstante s realnim indeksom na sljedeći način:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (jednadžba 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Kvadriranje koje dobivamo

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Relativna greška je

ε = -0,000 000 001

tj. minimalna pogreška (ako je uopće ima) - izračuni se rade na ručnom kalkulatoru.

 

2. Dodavanje potencija formuli za množenje dviju konstanti (jednadžba 1)

 

daje:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ) ^q = [ _C ( _{p × m + q × n ) ⁄p + q ) ]} ^{( p} + ^q ₎ ⁽ Jednadžba 3 ⁾

 

Koristimo prethodni primjer s nekim dodatnim potencijama:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Lijeva strana jednaka je

= 26,740 585 61...

 

A desna strana (opet, koristeći jednadžbu 2) je

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relativna pogreška

ε = 0,000 000 001

 

3. Opća formula za množenje za bilo koje potencije i broj faktora .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co) r _× ^... × ( _{Cx )} z = ⁽ Jednadžba 4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Jednadžba 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Jednadžba 4b)

 

U (jednadžba 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; pa je (jednadžba 4b) puno robusnija.

 

Primjer posljednje formule za tri faktora i tri potencije s jednim indeksom jednakim "0"; (iznimka: da bi funkcioniralo, 2X0 mora biti jednako 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ...) ² = 0,064 568 027 ...

 

Drugi dio opće formule daje

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C25,3333 ) ^{− 0,75} =

Koristeći jednadžbu 2 za izračun C _25.3333 dobivamo

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Treći dio opće formule daje

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ⁽ 0,25 ^{− 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Dakle, sva tri rezultata su ista.

 

4. Opća formula za logaritam produkata i potencije .

 

Nema tu puno toga. Ali, uzimajući logaritme jednadžbe 4, dobivamo:

 

ln[( Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ₎ ^r × … × ( _Cx ) _z ^{] =} ( Jednadžba 5)

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co _{) + …} + z × ln( Cx ) = (Jednadžba 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (Jednadžba 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Jednadžba _5c )

 

Ponovno, u (jednadžbi 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Množenje potencije i indeksa konstante s indeksom jednakim "0"; (iznimka: da bi radilo („potencija“ ili „indeks“) X 0 mora biti jednak potenciji ili indeks različit od 0).

 

5. Dijeljenje dviju konstanti .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (jednadžba 6)

 

npr. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Sada, koristeći (jednadžbu 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1 ⁄(C0) − ₁ = ⁽ 0,853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Vrijednosti konstanti su iz odjeljka bloga „Tablica transcendentalnih konstanti...“

 

Isti rezultati.

 

6. Dijeljenje dviju konstanti s potencijama .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Jednadžba 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Jednadžba 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( Jednadžba 7b)

 

npr. iz (jednadžbe 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Iz (jednadžbe 7a): ( C _{((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( −0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ^³ ₌ ( C7,8333 ) ^³

 

Koristeći (jednadžbu 2) za izračun ovog rezultata:

 

Iz opće formule transcendentalne funkcije:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

I iz jednadžbe 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Iz (jednadžbe 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( _C0 ) ( ^{− 1−(2,5 + 0,5 ))} =

= ( _C − _23,5 ) ^{− 1} /( C0 ) ^{− 4} =

 

Koristeći (jednadžbu 2) za izračun ovog rezultata:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Sada:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} _/ ⁄( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

tj. isti rezultat.

 

7. Opća formula za dijeljenje s bilo kojim brojem faktora i bilo kojim potencijama .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) q ^× ( _{Co )} ^r × ... × ( Cx) z ₎ ⁼ ₍ Jednadžba 8 )

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Jednadžba 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ⁻ 1/1( C0 ) ^{[ − 1 −} ₍ ^{( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Jednadžba 8b)

 

(Jednadžba 8a) ima ograničenje, kao i prije, s potencijama ili indeksima jednakim "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmi .

 

Dobivamo slične jednadžbe kao (jednadžba 5a, 5b i 5c), uzimajući logaritam na obje strane.

Previše je dosadno pisati to ovdje.

 

Komentari :

 

U svim ovim formulama Index Math, konstanta C0 = _{0,986 976} 350... čini se od najveće važnosti, kao da se sve ostale konstante mogu izračunati s ovom određenom konstantom C0 plus C8 ₌ π i C7 ₌ e.

 

 

Evo poveznica povezanih s tim člancima

 

1. Univerzalna transcendentalna funkcija i univerzalne transcendentalne konstante izvedene iz " π " i "e" >>> https://luxdeluce.com/503-290-4-knjiga-1-b-univerzalna-transcendentalna-funkcija-i-univerzalne-transcendentalne-konstante-izvedene-iz-pi-ie.html

 

 

2. Tablica transcendentalnih konstanti prema dolje >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Ažurirana tablica transcendentalnih konstanti ide prema gore >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indeksna matematika – svojstvo transcendentalnih konstanti >>> https://luxdeluce.com/504-291-9-knjiga-2-b-neka-svojstva-transcendentalne-funkcije.html