26. decembra 2016, na praznik svetega Štefana

 

Izpeljal sem splošne formule za množenje, deljenje, potenciranje in logaritme za transcendentalne konstante.

Seštevanje in odštevanje sta zahtevnejša za izpeljavo; izpeljano je bilo le delno.

Transcendentalne konstante imajo svoj edinstven način izračuna, tj. uporabljajo tisto, čemur jaz pravim, Kazalo matematike .

 

To pomeni, da se indeksi (podpisniki) danih konstant uporabljajo za izračun novih vrednosti množenja, deljenja, potenc in logaritmov, morebiti integralov in odvodov.

Začel bom s preprostimi primeri, da bo lažje razumeti, nato pa bom izpeljal splošne formule.

 

  1. Na primer, množenje dveh konstant lahko opišemo takole :

 

C m × C n = ( C ( m + n )⁄² ) ² ( enačba 1)

 

Torej, recimo v konkretnem primeru

C m = C 8 = π = 3,141 592 654...

In

Cn = C7 = e = 2,718 281 828 ...

Potem

C 8 × C 7 = π × e = 3,141 592 654 ... × 2,718 281 828 ... = 8,539 734 223 ...

 

Zdaj,

( C ( m + n )⁄2 ) 2 = ( C ( 8 + 7⁄2) ) 2 = ( C ( 15⁄2) ) 2 = ( C7,5 ) 2

 

Z uporabo formule En. 11 iz "Knjige 1 - Transcendentalne konstante - Uvod".

Vsako vrednost konstante z realnim indeksom lahko izračunamo na naslednji način:

 

FT(x) = ( C0 ) × (π/ e) x (enačba 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) 7,5 = 2,922 282 364...

Kvadriranje, ki ga dobimo

(2,922 282 364...) 2 = 8,539 734 216...

 

Relativna napaka je

ε = -0,000 000 001

tj. minimalna napaka (če sploh) - izračuni se izvajajo na ročnem kalkulatorju.

 

  1. Dodajanje potenc formuli za množenje dveh konstant (enačba 1)

 

daje:

 

( Cm ) p × ( Cn ) q = [ C ( p × m + q × n ) ⁄p + q ) ] ( p + q ) ( enačba 3)

 

Uporabimo prejšnji primer z nekaj dodatnimi pooblastili:

( C8 ) 1⁄4 × ( C7 ) 3 = ( C ( ( 0,25 × 8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3) ) 0,25 + 3

Leva stran je enaka

= 26,740 585 61 ...

 

In desna stran (spet z uporabo enačbe 2) je

= ( C 23⁄3,25 ) 3,25 = (2,748 713 730) 3,25 = 26,740 585 57...

 

Relativna napaka

ε = 0,000 000 001

 

  1. Splošna formula za množenje za poljubne potenčne vrednosti in število faktorjev .

 

( Cm ) p × ( Cn ) q × ( Co ) r × ... × ( Cx ) z = ( enačba 4 )

 

= [ C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z ) ] ( p + q + r + ... + z ) = (enačba 4a)

= ( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ) ) × ( C 0 ) ( p + q + r + ... + z − 1) ( Enačba 4b)

 

V (enačbi 4a) je p + q + r +...+ z ≠ 0; zato je (enačba 4b) veliko bolj robustna.

 

Primer zadnje formule za tri faktorje in tri potenčne vrednosti z enim indeksom, enakim "0"; (izjema: da deluje, mora biti 2X0 enako 2).

 

( C8 ) 1⁄4 × ( C7 ) − 3 × ( C0 = 0,986976350 ... ) 2 = 0,064 568 027 ...

 

Drugi del splošne formule daje

( C ( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 ) ) ( 0,25 − 3 + 2) = ( C = 25,3333 ) − 0,75 =

Z uporabo enačbe 2 za izračun C 25,3333 dobimo

= (38,604 978 32...) − 0,75 = 0,064 568 027...

 

Tretji del splošne formule daje

( C ( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 ) ) × ( C0 ) ( 0,25 − 3 + 2 − 1) =

= ( C − 19 ) × ( C 0 ) − 1,75 =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Torej so vsi trije rezultati enaki.

 

  1. Splošna formula za logaritem produktov in potenco .

 

Nič posebnega ni. Če pa logaritmiramo enačbo 4, dobimo:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ( Co ) r × × ( Cx ) z ] = ( enačba 5 )

 

= p × ln( Cm ) + q × ln( Cn ) + r × ln( Co ) + … + z × ln( Cx ) = (enačba 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z ) ) = (enačba 5b)

 

= ln( C ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ) ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( enačba 5c )

 

Spet, v (enačbi 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Množenje potenčne vrednosti in indeksa konstante z indeksom, enakim "0"; (izjema: da deluje ("potenčna vrednost" ali "indeks"), mora biti X 0 enak potenčni vrednosti ali indeks, ki ni enak 0).

 

  1. Deljenje dveh konstant .

 

C M C n = ( C (- M + n ) − 1 ⁄ ( C 0 ) − 1 (enačba 6)

 

npr. C 8 C 7 = π e = 1,155 727 350...

 

Sedaj, z uporabo (enačbe 6)

 

C 8 C 7 = π e = ( C ( − 8 + 7) ) − 1 ⁄ ( C 0 ) − 1 =

= ( C − 1) − 1 ⁄(C0) 1 = ( 0,853 987 189 ... ) − 1 ÷ (0,986 976 350...) − 1 =

= 1,155 727 350 ...

 

Vrednosti konstant so iz razdelka bloga »Tabela transcendentalnih konstant ...«

 

Isti rezultati.

 

  1. Deljenje dveh konstant s potencami .

 

( C M ) P ⁄( C n ) q = (enačba 7)

 

= ( C ((− P × M + q × n) ⁄ − P + q ) ) ( P q ) = (enačba 7a)

= ( C (− P × M + q × n ) ) − 1 / ( C0 ) ( −1 − ( P q )) ( enačba 7b)

 

npr. iz (En. 7): ( C 8 ) 2,5 ⁄( C 7 ) − 0,5 = ( π ) 2,5 ⁄( e ) − 0,5 = 28,841 770 89...

Iz (enačbe 7a): ( C ((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5 − 0,5 ) ) ( 2,5 − ( −0,5 )) =

= ( C ( −20−3,5⁄ −3) ) 3 = ( C7,8333 ) 3

 

Z uporabo (enačbe 2) za izračun tega rezultata:

 

Iz splošne formule transcendentalne funkcije:

 

TF( 7,8333) = ( C 0 ) × ( π e ) 7,8333 = 3,066 718 931...

 

In iz enačbe 7a:

 

( C 7,8333 ) 3 = (3,066 718 931...) 3 = 28,841 770 86...

 

Iz (enačbe 7b):

 

( C ( −2,5 × 8−0,5 × 7) ) −1 / ⁄( C0 ) ( −1−(2,5 + 0,5 )) =

= ( C 23,5 ) − 1 /( C0 ) − 4 =

 

Z uporabo (enačbe 2) za izračun tega rezultata:

 

TF( -23,5) = (0,986976350 ...) × ( π e ) − 23,5 = 0,032 900 694 ...

 

Zdaj:

 

( C − 23,5 ) − 1 / ⁄( C0 ) − 4 = (0,032 900 694...) − 1 ÷ (0,986976350...) − 4 =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

tj. enak rezultat.

 

  1. Splošna formula za deljenje s poljubnim številom faktorjev in poljubnimi potencami .

 

(( C M ) P × ( C N ) Q × ( C O ) R × ...  × ( CX ) Z ) ÷ (( Cm ) p × ( Cn ) q × ( Co ) r × ... × ( Cx) z ) = ( enačba 8)

 

= ( C ((− P × M Q × N R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P Q R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) ) ) [ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )] = (enačba 8a) =

( C (( − P × M Q × N R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )) ) − 1 /⁄( C0 ) [ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )] ( enačba 8b)

 

(Enačba 8a) ima, kot prej, omejitev s potencami ali indeksi, enakimi "0".

( − P Q R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

  1. Logaritimi .

 

Dobimo podobne enačbe kot (enačbe 5a, 5b in 5c), pri čemer logaritem uporabimo na obeh straneh.

Preveč dolgočasno je, da bi to pisali tukaj.

 

Komentarji :

 

V vseh teh formulah Index Math se zdi konstanta C0 = 0,986 976 350... izjemnega pomena, kot da bi vse druge konstante lahko izračunali s to konstanto C0 plus C8 = π in C7 = e .

 

 

Tukaj so povezave, povezane s temi članki

 

  1. Univerzalna transcendentalna funkcija in univerzalne transcendentalne konstante, izpeljane iz " π " in "e" >>> https://luxdeluce.com/507-294-4-knjiga-1-b-univerzalna-transcendentalna-funkcija-in-univerzalne-transcendentalne-konstante-izpeljane-iz-in-e.html

 

 

  1. Tabela transcendentalnih konstant, ki se spušča >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

  1. Posodobljena tabela transcendentalnih konstant >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

  1. Indeksna matematika – lastnost transcendentalnih konstant >>> https://luxdeluce.com/508-295-9-knjiga-2-b-nekatere-lastnosti-transcendentalne-funkcije.html

 

Comments powered by CComment