26 снежня 2016 г., свята Святога Стэфана

 

Я вывеў агульныя формулы для множання, дзялення, узвядзення ступеней і лагарыфмаў для трансцэндэнтных канстант.

Складаней вывесці складанасці з складання і аднімання; гэта было зроблена толькі часткова.

Трансцэндэнтныя канстанты маюць свой унікальны спосаб вылічэнняў, г.зн. яны выкарыстоўваюць тое, што я называю, Індэксная матэматыка .

 

Гэта азначае, што індэксы (ніжнія індэксы) зададзеных канстант выкарыстоўваюцца для вылічэння новых значэнняў множання, дзялення, ступеней і лагарыфмаў, магчыма, інтэгралаў і вытворных.

Я пачну з простых прыкладаў, каб было лягчэй зразумець, а потым выведу агульныя формулы.

 

1. Напрыклад, множанне двух канстант можна апісаць наступным чынам :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁽ раўнанне 1)

 

Такім чынам, у канкрэтным прыкладзе, скажам

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

І

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Тады

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Цяпер,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Выкарыстоўваючы формулу 11 з кнігі «Кніга 1 — Трансцэндэнтныя канстанты — Уводзіны».

Мы можам вылічыць любое значэнне канстанты з рэальным індэксам наступным чынам:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (раўнанне 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Узвядзенне ў квадрат, якое мы атрымліваем

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Адносная памылка — гэта

ε = -0,000 000 001

г.зн., мінімальная памылка (калі яна наогул ёсць) — разлікі вырабляюцца на ручным калькулятары.

 

2. Дадаванне ступеней да формулы множання дзвюх канстант (ураўненне 1)

 

дае:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ) ^q = [ _C ( _{p × m + q × n )} ^⁄p _{+ q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ раўнанне 3 ⁾

 

Давайце выкарыстаем папярэдні прыклад з некаторымі дадатковымі паўнамоцтвамі:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Левая частка роўная

= 26,740 585 61...

 

А правая частка (зноў жа, выкарыстоўваючы ўраўненне 2) мае выгляд

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Адносная памылка

ε = 0,000 000 001

 

3. Агульная формула множання для любых ступеней і колькасці множнікаў .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ раўнанне 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (раўнанне 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Ураўненне 4b)

 

У (раўнанне 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; таму (раўнанне 4b) значна больш устойлівае.

 

Прыклад апошняй формулы для трох множнікаў і трох ступеней з адным індэксам, роўным "0"; (выключэнне: каб гэта працавала, 2X0 павінна быць роўна 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Другая частка агульнай формулы дае

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _{= 25,3333} ) ^{− 0,75} =

Выкарыстоўваючы раўнанне 2 для разліку C _25.3333, атрымліваем

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Трэцяя частка агульнай формулы дае

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Такім чынам, усе тры вынікі аднолькавыя.

 

4. Агульная формула для лагарыфма здабыткаў і ступені .

 

Тут няма нічога асаблівага. Але, лагарыфмуючы ўраўненне 4, мы атрымліваем:

 

ln[( Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ₎ ^r × … × ( _Cx ) _z ^{] =} ( раўнанне 5)

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co _{) + …} + z × ln( Cx ) = (раўнанне 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (ураўненне 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( раўнанне _5c )

 

Зноў жа, у (раўнанне 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Множанне ступені і індэкса канстанты з індэксам, роўным «0»; (выключэнне: каб гэта працавала («ступень» або «індэкс»), X 0 павінен быць роўны ступені або індэкс не роўны 0).

 

5. Дзяленне дзвюх канстант .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (раўнанне 6)

 

напрыклад, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Цяпер, выкарыстоўваючы (раўнанне 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Значэнні канстант узятыя з раздзела блога «Табліца трансцэндэнтальных канстант...»

 

Тыя ж вынікі.

 

6. Дзяленне дзвюх канстант са ступенямі .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (раўнанне 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (раўнанне 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( ураўненне 7b)

 

напрыклад, з (Ураўненне 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄ ( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄ ( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

З (раўнанне 7a): ( C _{((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5−0,5 )} ) ^{( 2,5− (− 0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ^³ ₌ ( C7,8333 ) ^³

 

Выкарыстоўваючы (раўнанне 2) для разліку гэтага выніку:

 

З агульнай формулы трансцэндэнтнай функцыі:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

А з ураўнення 7а:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

З (раўнанне 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( _C0 ) ( ^{− 1−(2,5 + 0,5 ))} =

₌ ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /⁄( C0 ) ^{− 4} =

 

Выкарыстоўваючы (раўнанне 2) для разліку гэтага выніку:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Цяпер:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} _/ ⁄( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

г.зн., той самы вынік.

 

7. Агульная формула для дзялення з любой колькасцю множнікаў і любымі ступенямі .

 

(( С _М ) ^П × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (раўнанне 8)

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (ур.8a) =

( С _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /⁄( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( ураўненне 8b)

 

(Ураўненне 8a) мае абмежаванне, як і раней, са ступенямі або індэксамі, роўнымі "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Лагарыфмы .

 

Мы атрымліваем падобныя ўраўненні да (ураўненні 5a, 5b і 5c), лагарыфмуючы абодва бакі.

Занадта сумна пісаць пра гэта тут.

 

Каментарыі :

 

Ва ўсіх гэтых формулах Index Math канстанта _C0 = 0,986 976 350... здаецца надзвычай важнай, як быццам усе астатнія канстанты можна вылічыць з дапамогай гэтай канкрэтнай канстанты _C0 плюс C8 = _π і C7 ₌ e.

 

 

Вось спасылкі, звязаныя з гэтымі артыкуламі

 

1. Універсальная трансцэндэнтальная функцыя і універсальныя трансцэндэнтальныя канстанты, атрыманыя з " π " і "e" >>> https://luxdeluce.com/531-318-4-e.html

 

 

2. Табліца трансцэндэнтальных канстант уніз >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Абноўленая табліца трансцэндэнтальных канстант >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Індэксная матэматыка — уласцівасць трансцэндэнтальных канстант >>> https://luxdeluce.com/532-319-9.html